TEOREMA DE PITÁGORAS

TRIGONOMETRÍA

El teorema de Pitágoras es una de las relaciones más famosas de las matemáticas y la base de la trigonometría. Relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo y permite calcular longitudes que no se pueden medir con una regla: la altura de una pared, la diagonal de un terreno, la distancia entre dos puntos.

1. El teorema

Teorema de Pitágoras

Enunciado. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$c^2=a^2+b^2$$

CATETOS$a$ y $b$: los lados que forman el ángulo rectoHIPOTENUSA$c$: el lado opuesto al ángulo recto. Es siempre el lado más largo

Despejes útiles: $\quad c=\sqrt{a^2+b^2}\qquad a=\sqrt{c^2-b^2}\qquad b=\sqrt{c^2-a^2}$

Significado geométrico. El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

FIGURA 1. Con catetos $a=3$ y $b=4$: $9+16=25$, así que $c=5$.

2. Demostraciones

Demostración 1: por áreas

Se toman cuatro triángulos rectángulos iguales, de catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$, y se acomodan de dos maneras dentro de un cuadrado de lado $a+b$ (figura). En las dos disposiciones el cuadrado grande tiene la misma área: $(a+b)^2$.

PASO 1Disposición 1. Los triángulos dejan en el centro un cuadrado de lado $c$ (es cuadrado porque sus ángulos miden $180^\circ-\alpha-\beta=90^\circ$). Área total: $(a+b)^2=c^2+4\cdot\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab$.PASO 2Disposición 2. Los mismos triángulos, agrupados de dos en dos, forman dos rectángulos $a\times b$ y dejan dos cuadrados, de lados $a$ y $b$. Área total: $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.PASO 3Se igualan las dos expresiones del mismo cuadrado: $c^2+2ab=a^2+b^2+2ab$.PASO 4Se cancela $2ab$ en ambos lados: $c^2=a^2+b^2$. $\blacksquare$

FIGURA 2. El cuadrado de lado $a+b$ con los cuatro triángulos, en dos disposiciones.

Demostración 2: por semejanza

Sea $\triangle ABC$ rectángulo en $C$, con catetos $a=BC$, $b=AC$ e hipotenusa $c=AB$. Se traza la altura $CH$ sobre la hipotenusa, que la divide en $AH=m$ y $HB=n$, de modo que $m+n=c$.

PASO 1Tres triángulos semejantes. $\triangle ABC$, $\triangle CBH$ y $\triangle ACH$ tienen ángulos iguales (cada pareja comparte un ángulo agudo y todos tienen un ángulo recto), por el criterio AA.PASO 2Con $\triangle ABC\sim\triangle CBH$: $\dfrac{a}{c}=\dfrac{n}{a}$, de donde $a^2=c\cdot n$.PASO 3Con $\triangle ABC\sim\triangle ACH$: $\dfrac{b}{c}=\dfrac{m}{b}$, de donde $b^2=c\cdot m$.PASO 4Se suman: $a^2+b^2=c\cdot n+c\cdot m=c\,(m+n)=c\cdot c=c^2$. $\blacksquare$

FIGURA 3. La altura $CH$ divide al triángulo en dos triángulos semejantes al original.

Corolarios de la demostración por semejanza

TEOREMA DEL CATETOCada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección: $a^2=c\cdot n$ y $b^2=c\cdot m$TEOREMA DE LA ALTURALa altura sobre la hipotenusa cumple $h^2=m\cdot n$ (de $\triangle CBH\sim\triangle ACH$: $\dfrac{h}{n}=\dfrac{m}{h}$)

3. Recíproco, ternas y aplicaciones

Recíproco del teorema

Enunciado. Si en un triángulo se cumple $c^2=a^2+b^2$, donde $c$ es el lado mayor, entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo recto es el opuesto a $c$.

Demostración. Se construye un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$. Por el teorema, su hipotenusa $x$ cumple $x^2=a^2+b^2=c^2$, luego $x=c$. Los dos triángulos tienen los tres lados iguales (LLL): son congruentes, y por tanto el original también tiene un ángulo recto. $\blacksquare$

Para clasificar un triángulo con lados \(a\le b

SI…	EL TRIÁNGULO ES
$c^2=a^2+b^2$	rectángulo
\(c^2	acutángulo
$c^2>a^2+b^2$	obtusángulo

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica son tres números enteros positivos $(a,\ b,\ c)$ que cumplen $a^2+b^2=c^2$. Si multiplicas una terna por un mismo número, obtienes otra.

TERNA	COMPROBACIÓN	MÚLTIPLOS
$(3,\ 4,\ 5)$	$9+16=25$	$(6,8,10),\ (9,12,15),\ (12,16,20)$
$(5,\ 12,\ 13)$	$25+144=169$	$(10,24,26)$
$(8,\ 15,\ 17)$	$64+225=289$	$(16,30,34)$
$(7,\ 24,\ 25)$	$49+576=625$	$(14,48,50)$

Generador: para $m>n$, la terna $(m^2-n^2,\ 2mn,\ m^2+n^2)$ siempre es pitagórica. Con $m=2$ y $n=1$ sale $(3,4,5)$.

Aplicaciones importantes

DIAGONAL DE UN CUADRADOCon lado $\ell$: $d^2=\ell^2+\ell^2=2\ell^2$, por lo que $d=\ell\sqrt2$DIAGONAL DE UN RECTÁNGULOCon lados $a$ y $b$: $d=\sqrt{a^2+b^2}$ALTURA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTEROCon lado $\ell$, la altura divide la base en dos mitades: $h^2+\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2=\ell^2$, luego $h=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}$DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSEn el plano cartesiano: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (la usarás en Geometría analítica)

FIGURA 4. Diagonal de un cuadrado y altura de un triángulo equilátero.

Método para usar el teorema

Para calcular un lado desconocido de un triángulo rectángulo:

PASO 1Dibuja el triángulo y señala el ángulo recto. El lado opuesto a él es la hipotenusa $c$.PASO 2Escribe $c^2=a^2+b^2$ y sustituye los datos.PASO 3Calcula los cuadrados y suma o resta según lo que busques.PASO 4Saca la raíz cuadrada del resultado.PASO 5Revisa que la hipotenusa sea el lado más largo y escribe las unidades.

Procedimientos paso a paso

EJEMPLO 1 | Calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $6$ cm y $8$ cm. Halla la hipotenusa.

SOLUCIÓN

PASO 1Escribe el teorema: $c^2=a^2+b^2$.PASO 2Sustituye: $c^2=6^2+8^2=36+64=100$.PASO 3Saca la raíz: $c=\sqrt{100}=10$.

La hipotenusa mide $10$ cm.

EJEMPLO 2 | Calcular un cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13$ cm y un cateto mide $5$ cm. Halla el otro cateto.

SOLUCIÓN

PASO 1Despeja el cateto: $b^2=c^2-a^2$.PASO 2Sustituye: $b^2=13^2-5^2=169-25=144$.PASO 3Saca la raíz: $b=\sqrt{144}=12$.

El otro cateto mide $12$ cm.

EJEMPLO 3 | Resultado con raíz

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $4$ y $6$. Halla la hipotenusa en forma exacta y aproximada.

SOLUCIÓN

PASO 1$c^2=4^2+6^2=16+36=52$.PASO 2Raíz: $c=\sqrt{52}$.PASO 3Simplifica sacando el factor cuadrado: $52=4\cdot13$, así que $\sqrt{52}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{13}=2\sqrt{13}$.PASO 4Aproxima: $2\sqrt{13}\approx2(3.606)=7.21$.

$c=2\sqrt{13}\approx7.21$.

EJEMPLO 4 | Lados consecutivos con ecuación

Los lados de un triángulo rectángulo miden $x$, $x+1$ y $x+2$, con $x+2$ la hipotenusa. Halla $x$ y los tres lados.

SOLUCIÓN

PASO 1Aplica el teorema: $x^2+(x+1)^2=(x+2)^2$.PASO 2Desarrolla los binomios: $x^2+x^2+2x+1=x^2+4x+4$, es decir, $2x^2+2x+1=x^2+4x+4$.PASO 3Pasa todo a un lado: $x^2-2x-3=0$.PASO 4Factoriza: $(x-3)(x+1)=0$, de donde $x=3$ o $x=-1$. Como un lado no puede ser negativo, $x=3$.PASO 5Los lados: $3,\ 4,\ 5$. Comprueba: $9+16=25$. ✓

$x=3$; los lados miden $3,\ 4$ y $5$.

EJEMPLO 5 | ¿Qué tipo de triángulo es?

Clasifica los triángulos de lados: a) $5,\ 12,\ 13$; b) $6,\ 7,\ 8$; c) $7,\ 9,\ 12$.

SOLUCIÓN

PASO 1Identifica el lado mayor $c$ y compara $c^2$ con $a^2+b^2$.PASO 2a) $c^2=169$ y $25+144=169$. Son iguales: rectángulo.PASO 3b) $c^2=64$ y $36+49=85$. Como $64<85$: acutángulo.PASO 4c) $c^2=144$ y $49+81=130$. Como $144>130$: obtusángulo.

a) rectángulo; b) acutángulo; c) obtusángulo.

Problemas razonados

PROBLEMA 1 | La escalera y la pared

Una escalera de $6.5$ m de largo se apoya en una pared vertical. El pie de la escalera está a $2.5$ m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

FIGURA 5. La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo.

SOLUCIÓN

PASO 1Datos: escalera $6.5$ m (es la hipotenusa, pues se opone al ángulo recto entre pared y suelo); distancia al pie $2.5$ m. Incógnita: la altura $h$.PASO 2Planteamiento: $h^2+2.5^2=6.5^2$.PASO 3Cálculo: $h^2=42.25-6.25=36$.PASO 4Raíz: $h=\sqrt{36}=6$.PASO 5Comprueba: $6^2+2.5^2=36+6.25=42.25=6.5^2$. ✓

La escalera llega a $6$ m de altura.

PROBLEMA 2 | El atajo por la diagonal

Un terreno rectangular mide $32$ m de largo y $24$ m de ancho. Una persona va de una esquina a la esquina opuesta. ¿Cuántos metros se ahorra si cruza por la diagonal en lugar de caminar por las orillas?

FIGURA 6. Por las orillas (naranja) o por la diagonal $d$ (rojo).

SOLUCIÓN

PASO 1Camino por las orillas: $32+24=56$ m.PASO 2Camino por la diagonal: es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $32$ y $24$: $d^2=32^2+24^2=1024+576=1600$.PASO 3Raíz: $d=\sqrt{1600}=40$ m.PASO 4Ahorro: $56-40=16$ m.PASO 5Comprueba: $(32,24,40)$ es el múltiplo $8$ de la terna $(4,3,5)$. ✓

Se ahorran $16$ m.

PROBLEMA 3 | El cable de un poste

Un cable de $17$ m se sujeta a la parte alta de un poste vertical y se ancla al suelo, a $8$ m del pie del poste. ¿Qué altura tiene el poste?

FIGURA 7. El poste, el suelo y el cable forman un triángulo rectángulo.

SOLUCIÓN

PASO 1Datos: el cable es la hipotenusa ($17$ m) y la distancia en el suelo es un cateto ($8$ m). Incógnita: la altura $h$ del poste.PASO 2Planteamiento: $h^2+8^2=17^2$.PASO 3Cálculo: $h^2=289-64=225$.PASO 4Raíz: $h=\sqrt{225}=15$.PASO 5Comprueba: $(8,15,17)$ es una terna pitagórica conocida. ✓

El poste mide $15$ m de altura.

EJERCITA TU MENTE

Resuelve en tu cuaderno y revisa tu resultado. Dificultad: ●○○ básico, ●●○ intermedio, ●●● reto.

●○○ Los catetos de un triángulo rectángulo miden $9$ y $12$. Halla la hipotenusa.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. $c^2=9^2+12^2=81+144=225$.
Paso 2. $c=\sqrt{225}=15$.
Respuesta: $15$.
●○○ La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $17$ y un cateto mide $8$. Halla el otro cateto.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. $b^2=17^2-8^2=289-64=225$.
Paso 2. $b=\sqrt{225}=15$.
Respuesta: $15$.
●●○ Los catetos de un triángulo rectángulo miden $6$ y $9$. Halla la hipotenusa en forma exacta y aproximada.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. $c^2=36+81=117$.
Paso 2. $117=9\cdot13$, así que $c=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$.
Respuesta: $c=3\sqrt{13}\approx10.82$.
●●○ Halla la diagonal de un cuadrado de lado $8$ cm.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. $d^2=8^2+8^2=128$.
Paso 2. $d=\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt2$.
Respuesta: $d=8\sqrt2\approx11.31$ cm.
●●○ Halla la altura de un triángulo equilátero de lado $10$ cm.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. La altura divide la base en dos mitades de $5$ cm: $h^2+5^2=10^2$.
Paso 2. $h^2=100-25=75$, así que $h=\sqrt{75}=5\sqrt3$.
Respuesta: $h=5\sqrt3\approx8.66$ cm.
●●○ Clasifica los triángulos de lados: a) $8,\ 15,\ 17$; b) $9,\ 10,\ 13$; c) $5,\ 7,\ 10$.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. a) $17^2=289$ y $64+225=289$: rectángulo.
Paso 2. b) $13^2=169$ y $81+100=181$; como $169<181$: acutángulo.
Paso 3. c) $10^2=100$ y $25+49=74$; como $100>74$: obtusángulo.
Respuesta: a) rectángulo; b) acutángulo; c) obtusángulo.
●●● Los lados de un triángulo rectángulo miden $x$, $x+7$ y $x+8$, con $x+8$ la hipotenusa. Halla $x$ y los tres lados.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. $x^2+(x+7)^2=(x+8)^2$.
Paso 2. $2x^2+14x+49=x^2+16x+64$, es decir, $x^2-2x-15=0$.
Paso 3. Factoriza: $(x-5)(x+3)=0$. Como $x>0$, $x=5$.
Respuesta: $x=5$; los lados miden $5,\ 12$ y $13$.
●●● Una escalera de $10$ m llega a $8$ m de altura en una pared. ¿A qué distancia de la pared está su pie?
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. La escalera es la hipotenusa: $d^2+8^2=10^2$.
Paso 2. $d^2=100-64=36$.
Paso 3. $d=\sqrt{36}=6$.
Respuesta: $6$ m.
●●● Un ciclista recorre $12$ km al sur y luego $5$ km al oeste. ¿A qué distancia en línea recta está del punto de partida?
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. Los dos recorridos son perpendiculares: forman los catetos de un triángulo rectángulo.
Paso 2. $d^2=12^2+5^2=144+25=169$.
Paso 3. $d=\sqrt{169}=13$.
Respuesta: $13$ km.
●●● Un triángulo rectángulo tiene catetos $9$ y $12$. Halla la altura $h$ sobre la hipotenusa.
Ver respuesta paso a paso
Paso 1. Hipotenusa: $c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
Paso 2. El área con los catetos como base y altura es $\dfrac{9\cdot12}{2}=54$.
Paso 3. El área con la hipotenusa como base es $\dfrac{15\cdot h}{2}$. Se igualan: $\dfrac{15h}{2}=54$.
Respuesta: $h=\dfrac{108}{15}=7.2$.

Evita estos posibles errores

1. Sumar los catetos sin elevarlos al cuadrado

✘ Incorrecto: $c=a+b=3+4=7$

✔ Correcto: $c^2=a^2+b^2=9+16=25$, así que $c=5$.

2. Sacar la raíz a cada sumando

✘ Incorrecto: $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$

✔ Correcto: La raíz no se reparte en una suma: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, y no $3+4$.

3. Usar el teorema en un triángulo que no es rectángulo

✘ Incorrecto: En un triángulo de lados $5,\ 6,\ 7$, $7^2=5^2+6^2$

✔ Correcto: Solo vale si hay un ángulo recto. Aquí $49\neq25+36=61$: no es rectángulo.

4. Confundir la hipotenusa con un cateto

✘ Incorrecto: Hipotenusa $13$ y cateto $5$: $b=\sqrt{13^2+5^2}$

✔ Correcto: La hipotenusa va sola en un lado: $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$.

5. Olvidar la raíz cuadrada al final

✘ Incorrecto: $c^2=25$, así que $c=25$

✔ Correcto: $c=\sqrt{25}=5$. El resultado $25$ es $c^2$.

6. Comparar con el lado equivocado al clasificar

✘ Incorrecto: Con lados $6,\ 7,\ 8$ se compara $6^2$ con $7^2+8^2$

✔ Correcto: Siempre se compara el lado mayor al cuadrado con la suma de los otros dos: $8^2$ contra $6^2+7^2$.

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TERNA	COMPROBACIÓN	MÚLTIPLOS
\((3,\ 4,\ 5)\)	\(9+16=25\)	\((6,8,10),\ (9,12,15),\ (12,16,20)\)
\((5,\ 12,\ 13)\)	\(25+144=169\)	\((10,24,26)\)
\((8,\ 15,\ 17)\)	\(64+225=289\)	\((16,30,34)\)
\((7,\ 24,\ 25)\)	\(49+576=625\)	\((14,48,50)\)

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1. El teorema

2. Demostraciones

3. Recíproco, ternas y aplicaciones

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