FÓRMULA GENERAL
ÁLGEBRA
Una función cuadrática es una función de la forma
$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0 $$Su gráfica es una curva llamada parábola. Las funciones cuadráticas describen muchas situaciones reales: la trayectoria de un balón, la forma de un puente o una antena, o la ganancia máxima de un negocio. Todo lo que aprendiste sobre ecuaciones cuadráticas se conecta aquí: las soluciones de \( ax^2 + bx + c = 0 \) son los puntos donde la parábola corta al eje x.
Antes de empezar, recuerda:
- Evaluar una función es sustituir el valor de \( x \): si \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \), entonces \( f(1) = 1 - 2 - 3 = -4 \).
- Cuidado con los negativos: \( -x^2 \) con \( x = -2 \) da \( -(-2)^2 = -4 \), no \( 4 \).
- Para encontrar las raíces usa factorización, completar el cuadrado o la fórmula general; el discriminante dice cuántas hay.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
1. Concavidad. Si \( a > 0 \) la parábola abre hacia arriba; si \( a < 0 \), hacia abajo.
2. Vértice \( V(h, k) \): el punto más bajo (mínimo) o más alto (máximo).
$$ h = -\frac{b}{2a}, \qquad k = f(h) $$3. Eje de simetría: la recta vertical \( x = h \). La parábola es igual de los dos lados.
4. Intersección con el eje y: el punto \( (0, c) \).
5. Raíces (intersecciones con el eje x): las soluciones de \( ax^2 + bx + c = 0 \).
\( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)
\( a > 0 \): abre hacia arriba
el vértice es un mínimo
\( a < 0 \): abre hacia abajo
el vértice es un máximo
Dato extra: completando el cuadrado, toda función cuadrática se puede escribir en forma vértice \( f(x) = a(x - h)^2 + k \). Por ejemplo, \( x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4 \), y se lee directo \( V(1, -4) \).
Procedimiento para graficar
- Concavidad: observa el signo de \( a \).
- Vértice: calcula \( h = -\frac{b}{2a} \) y luego \( k = f(h) \).
- Eje de simetría: \( x = h \).
- Intersección con y: \( (0, c) \).
- Raíces: resuelve \( f(x) = 0 \) (revisa el discriminante).
- Tabla de valores con el vértice al centro: los valores se repiten de forma simétrica.
- Traza la curva uniendo los puntos con una línea suave.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. Analiza y grafica: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
$$\begin{aligned} &a = 1 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba}} \\[6pt] &h = -\frac{-4}{2(1)} = 2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: h}} \\[6pt] &k = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: k}} \\[6pt] &V(2, -1), \quad x = 2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice y eje de simetría}} \\[6pt] &f(0) = 3 \;\Rightarrow\; (0, 3) && \color{#1d4fb8}{\small\text{Intersección con y}} \\[6pt] &(x - 1)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1,\; x = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces (factorización)}} \end{aligned}$$
| \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Observa la simetría de la tabla: \( f(1) = f(3) \) y \( f(0) = f(4) \). Los puntos a la misma distancia del eje tienen la misma altura.
Ejemplo 2. Analiza y grafica: \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \)
$$\begin{aligned} &a = -1 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia abajo}} \\[6pt] &h = -\frac{2}{2(-1)} = 1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: h}} \\[6pt] &k = f(1) = -1 + 2 + 3 = 4 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: k (máximo)}} \\[6pt] &V(1, 4), \quad x = 1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice y eje de simetría}} \\[6pt] &f(0) = 3 \;\Rightarrow\; (0, 3) && \color{#1d4fb8}{\small\text{Intersección con y}} \\[6pt] &-x^2 + 2x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces: multiplique por −1}} \\[6pt] &(x - 3)(x + 1) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3,\; x = -1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Factorice}} \end{aligned}$$
| \( x \) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
Ejemplo 3. Analiza y grafica: \( f(x) = x^2 + 4x + 4 \)
$$\begin{aligned} &a = 1 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba}} \\[6pt] &h = -\frac{4}{2(1)} = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: h}} \\[6pt] &k = f(-2) = 4 - 8 + 4 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: k}} \\[6pt] &V(-2, 0), \quad x = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice y eje de simetría}} \\[6pt] &f(0) = 4 \;\Rightarrow\; (0, 4) && \color{#1d4fb8}{\small\text{Intersección con y}} \\[6pt] &\Delta = 16 - 16 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 2)^2 = 0,\; x = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Una sola raíz: el vértice}} \end{aligned}$$
| \( x \) | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Cuando \( \Delta = 0 \), el vértice está justo sobre el eje x: la parábola sólo lo toca.
Ejemplo 4. Analiza y grafica: \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)
$$\begin{aligned} &a = 2 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba (más cerrada)}} \\[6pt] &h = -\frac{-4}{2(2)} = 1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: h}} \\[6pt] &k = f(1) = 2 - 4 + 5 = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: k}} \\[6pt] &V(1, 3), \quad x = 1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice y eje de simetría}} \\[6pt] &f(0) = 5 \;\Rightarrow\; (0, 5) && \color{#1d4fb8}{\small\text{Intersección con y}} \\[6pt] &\Delta = 16 - 40 = -24 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{No tiene raíces reales}} \end{aligned}$$
| \( x \) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | 11 | 5 | 3 | 5 | 11 |
Abre hacia arriba y su punto más bajo está en \( y = 3 \): nunca baja al eje x. Por eso \( 2x^2 - 4x + 5 = 0 \) no tiene solución real. Como \( a = 2 \), la parábola es más cerrada que la de \( x^2 \).
Ejemplo 5. Analiza y grafica: \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \)
$$\begin{aligned} &a = -1 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia abajo}} \\[6pt] &h = -\frac{6}{2(-1)} = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: h}} \\[6pt] &k = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice: k (máximo)}} \\[6pt] &V(3, 4), \quad x = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice y eje de simetría}} \\[6pt] &f(0) = -5 \;\Rightarrow\; (0, -5) && \color{#1d4fb8}{\small\text{Intersección con y}} \\[6pt] &x^2 - 6x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 1)(x - 5) = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces: multiplique por −1 y factorice}} \\[6pt] &x = 1,\; x = 5 \end{aligned}$$
| \( x \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
Problemas razonados
Problema 1. La altura máxima de un balón
Un balón se patea hacia arriba y su altura (en metros) después de \( t \) segundos es \( h(t) = -5t^2 + 30t \). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué momento? ¿Cuándo vuelve a caer al suelo?
1
Interpreta. Como \( a = -5 < 0 \), la parábola abre hacia abajo: el vértice es el punto más alto.¿Por qué? La altura máxima siempre está en el vértice de una parábola que abre hacia abajo.
2
Calcula el tiempo del vértice. \( h = -\dfrac{30}{2(-5)} = 3 \) segundos.
3
Calcula la altura máxima. \( h(3) = -5(9) + 30(3) = -45 + 90 = 45 \) m.
4
Plantea cuándo cae. En el suelo la altura es 0: \( -5t^2 + 30t = 0 \).
5
Resuelve (ecuación mixta). \( -5t(t - 6) = 0 \Rightarrow t = 0 \) o \( t = 6 \).¿Por qué? t = 0 es el momento de la patada; t = 6 es cuando cae.
6
Usa la simetría. Sube 3 s y baja 3 s: el vértice está justo a la mitad entre las raíces 0 y 6 ✔
Altura máxima: \( 45 \) m a los \( 3 \) s. Vuelve al suelo a los \( 6 \) s.
Problema 2. El corral con área máxima
Con 40 m de malla se quiere cercar un corral rectangular. ¿Qué medidas debe tener para que su área sea la mayor posible?
1
Identifica la incógnita. Sea \( x \) el ancho. Como el perímetro es 40, largo + ancho = 20, así que el largo es \( 20 - x \).¿Por qué? Perímetro = 2(largo + ancho) = 40 ⇒ largo + ancho = 20.
2
Escribe la función del área. \( A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x \).
3
Interpreta. \( a = -1 < 0 \): abre hacia abajo, así que el vértice da el área máxima.
4
Calcula el vértice. \( h = -\dfrac{20}{2(-1)} = 10 \) y \( A(10) = -100 + 200 = 100 \).
5
Interpreta el resultado. El ancho es 10 m y el largo \( 20 - 10 = 10 \) m: ¡es un cuadrado!
6
Comprueba con otra medida. Si el ancho fuera 8 m: \( 8 \times 12 = 96 \text{ m}^2 < 100 \) ✔
El corral debe ser un cuadrado de \( 10 \) m por lado; su área máxima es \( 100 \text{ m}^2 \).
Problema 3. ¿Pasa el camión por el túnel?
La entrada de un túnel tiene forma de parábola dada por \( y = -0.5x^2 + 8 \) (en metros), con el centro de la entrada en \( x = 0 \). ¿Qué altura y qué ancho tiene la entrada? ¿Puede pasar por el centro un camión de 3 m de ancho y 7 m de alto?
1
Altura del túnel. \( b = 0 \), así que \( h = 0 \) y el vértice es \( V(0, 8) \): mide 8 m de alto.
2
Ancho en la base. En el suelo \( y = 0 \): \( -0.5x^2 + 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow |x| = 4 \Rightarrow x = \pm 4 \).¿Por qué? Es una ecuación pura: se despeja x² y se saca raíz.
3
Interpreta. La base va de \( -4 \) a \( 4 \): mide 8 m de ancho.
4
Usa la simetría para el camión. Centrado, el camión ocupa de \( x = -1.5 \) a \( x = 1.5 \). El punto crítico es la esquina en \( x = 1.5 \).¿Por qué? Las esquinas superiores del camión son las que pueden chocar con el techo.
5
Evalúa. \( y = -0.5(1.5)^2 + 8 = -0.5(2.25) + 8 = 6.875 \) m.
6
Compara. En el borde del camión el túnel mide 6.875 m, pero el camión mide 7 m: \( 7 > 6.875 \).
El túnel mide \( 8 \) m de alto y \( 8 \) m de ancho. El camión no pasa: le faltan \( 12.5 \) cm en las esquinas.
Evita estos posibles errores
✘ \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \Rightarrow h = -2 \)✔ \( h = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \)En \( h = -\frac{b}{2a} \) se usa \( b \) con su signo; el menos de la fórmula lo cambia.
✘ \( f(x) = -x^2 \Rightarrow f(-2) = 4 \)✔ \( f(-2) = -(-2)^2 = -4 \)Primero se eleva al cuadrado y después se aplica el signo de \( a \).
✘ \( a = -1 \Rightarrow \) abre hacia arriba✔ \( a < 0 \Rightarrow \) abre hacia abajoEl signo de \( a \) decide la concavidad y si el vértice es máximo o mínimo.
✘ Intersección con y en \( (c, 0) \)✔ \( (0, c) \)En el eje y, \( x = 0 \); por eso el punto es \( (0, c) \).
✘ El vértice es \( (h, h) \) o \( (k, h) \)✔ \( V(h, k) \) con \( k = f(h) \)Primero se calcula \( h \) y luego se sustituye en la función para obtener \( k \).
✘ Altura máxima = cuando \( h(t) = 0 \)✔ Altura máxima en el vérticeLas raíces dicen cuándo está en el suelo; el vértice, cuándo está más alto.
Resuelve en tu cuaderno y revisa tu resultado. Dificultad: ●○○ básico, ●●○ intermedio, ●●● reto.
Concavidad, vértice y eje de simetría
1. ●○○ Encuentra la concavidad, el vértice y el eje de \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &a = 1 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba}} \\[6pt] &h = -\frac{-6}{2(1)} = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{h}} \\[6pt] &k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4 && \color{#1d4fb8}{\small\text{k}} \end{aligned}$$
Abre hacia arriba, \( V(3, -4) \), eje \( x = 3 \) (mínimo).
2. ●○○ Encuentra la concavidad, el vértice y el eje de \( f(x) = -x^2 - 4x + 1 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &a = -1 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia abajo}} \\[6pt] &h = -\frac{-4}{2(-1)} = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{h}} \\[6pt] &k = f(-2) = -4 + 8 + 1 = 5 && \color{#1d4fb8}{\small\text{k}} \end{aligned}$$
Abre hacia abajo, \( V(-2, 5) \), eje \( x = -2 \) (máximo).
3. ●●○ Encuentra la concavidad, el vértice y el eje de \( f(x) = 2x^2 + 8x + 3 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &a = 2 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba}} \\[6pt] &h = -\frac{8}{2(2)} = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{h}} \\[6pt] &k = f(-2) = 8 - 16 + 3 = -5 && \color{#1d4fb8}{\small\text{k}} \end{aligned}$$
Abre hacia arriba, \( V(-2, -5) \), eje \( x = -2 \).
4. ●●○ Encuentra la concavidad, el vértice y el eje de \( f(x) = -3x^2 + 6x \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &a = -3 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia abajo}} \\[6pt] &h = -\frac{6}{2(-3)} = 1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{h}} \\[6pt] &k = f(1) = -3 + 6 = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{k}} \end{aligned}$$
Abre hacia abajo, \( V(1, 3) \), eje \( x = 1 \).
5. ●●● Encuentra la concavidad, el vértice y el eje de \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &a = 1 > 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Abre hacia arriba}} \\[6pt] &h = -\frac{3}{2(1)} = -\frac{3}{2} && \color{#1d4fb8}{\small\text{h}} \\[6pt] &k = f\left(-\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{9}{4} - \tfrac{9}{2} - 4 = \tfrac{9 - 18 - 16}{4} = -\tfrac{25}{4} && \color{#1d4fb8}{\small\text{k (con fracciones)}} \end{aligned}$$
Abre hacia arriba, \( V\left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{25}{4}\right) \), eje \( x = -\tfrac{3}{2} \).
Intersecciones con los ejes
6. ●○○ Encuentra las intersecciones con los ejes de \( f(x) = x^2 - x - 6 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &f(0) = -6 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje y}} \\[6pt] &(x - 3)(x + 2) = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje x: factorice}} \\[6pt] &x = 3,\; x = -2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces}} \end{aligned}$$
\( (0, -6) \); corta al eje x en \( (3, 0) \) y \( (-2, 0) \).
7. ●○○ Encuentra las intersecciones con los ejes de \( f(x) = x^2 - 9 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &f(0) = -9 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje y}} \\[6pt] &x^2 = 9 \Rightarrow |x| = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje x: ecuación pura}} \\[6pt] &x = \pm 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Del valor absoluto sale el ±}} \end{aligned}$$
\( (0, -9) \); corta al eje x en \( (3, 0) \) y \( (-3, 0) \).
8. ●●○ Encuentra las intersecciones con los ejes de \( f(x) = -x^2 + 5x \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &f(0) = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje y: pasa por el origen}} \\[6pt] &-x(x - 5) = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje x: factor común}} \\[6pt] &x = 0,\; x = 5 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces}} \end{aligned}$$
\( (0, 0) \); corta al eje x en \( (0, 0) \) y \( (5, 0) \).
9. ●●○ Encuentra las intersecciones con los ejes de \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &f(0) = 4 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje y}} \\[6pt] &\Delta = 16 - 16 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Discriminante}} \\[6pt] &(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Una sola raíz}} \end{aligned}$$
\( (0, 4) \); toca al eje x sólo en \( (2, 0) \), que es el vértice.
10. ●●● Encuentra las intersecciones con los ejes de \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &f(0) = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Eje y}} \\[6pt] &\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Discriminante negativo}} \end{aligned}$$
\( (0, 3) \); no corta al eje x.
Problemas de máximos y mínimos
11. ●○○ La altura de una piedra es \( h(t) = -5t^2 + 20t \). ¿Cuál es su altura máxima?
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &t = -\frac{20}{2(-5)} = 2 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Tiempo del vértice}} \\[6pt] &h(2) = -20 + 40 = 20 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Altura máxima}} \end{aligned}$$
Altura máxima de \( 20 \) m a los \( 2 \) s.
12. ●○○ La altura de un objeto es \( h(t) = -5t^2 + 10t + 15 \). ¿Cuándo llega al suelo?
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &-5t^2 + 10t + 15 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{En el suelo h = 0}} \\[6pt] &t^2 - 2t - 3 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Divida entre −5}} \\[6pt] &(t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3,\; t = -1 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Factorice}} \\[6pt] &t = 3 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Se descarta el tiempo negativo}} \end{aligned}$$
Llega al suelo a los \( 3 \) s.
13. ●●○ Dos números suman 20. ¿Cuál es el mayor producto que pueden tener?
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x && \color{#1d4fb8}{\small\text{Función del producto}} \\[6pt] &h = -\frac{20}{2(-1)} = 10 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice}} \\[6pt] &P(10) = 10 \cdot 10 = 100 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Producto máximo}} \end{aligned}$$
Los números son \( 10 \) y \( 10 \); el producto máximo es \( 100 \).
14. ●●○ Un rectángulo tiene 24 cm de perímetro. ¿Cuál es su área máxima?
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &\text{largo} + \text{ancho} = 12 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Mitad del perímetro}} \\[6pt] &A(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x && \color{#1d4fb8}{\small\text{Función del área}} \\[6pt] &h = 6, \quad A(6) = 36 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice}} \end{aligned}$$
Un cuadrado de \( 6 \) cm por lado, con área máxima de \( 36 \text{ cm}^2 \).
15. ●●● La ganancia (en miles de pesos) de un negocio al vender \( x \) productos es \( G(x) = -x^2 + 40x - 300 \). ¿Cuántos productos dan la ganancia máxima? ¿Desde cuántos hasta cuántos productos no hay pérdida?
Ver respuesta paso a paso
$$\begin{aligned} &h = -\frac{40}{2(-1)} = 20 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Vértice}} \\[6pt] &G(20) = -400 + 800 - 300 = 100 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Ganancia máxima}} \\[6pt] &-x^2 + 40x - 300 = 0 \Rightarrow x^2 - 40x + 300 = 0 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Raíces: G = 0}} \\[6pt] &(x - 10)(x - 30) = 0 \Rightarrow x = 10,\; x = 30 && \color{#1d4fb8}{\small\text{Factorice}} \end{aligned}$$
Ganancia máxima de \$100 000 con \( 20 \) productos; no hay pérdida vendiendo entre \( 10 \) y \( 30 \) productos.
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