Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que aparecen tan seguido que conviene conocer su resultado sin tener que multiplicar término por término. Cada uno sigue una regla fija que, una vez aprendida, te permite escribir el resultado de forma directa, rápida y sin errores.
Dominarlos es indispensable en tercero de secundaria: son la base para factorizar, para resolver ecuaciones cuadráticas y para trabajar con funciones cuadráticas. En esta página estudiaremos tres de ellos: el binomio al cuadrado, los binomios conjugados y los binomios con término común.
Antes de empezar, recuerda:
Un binomio es una expresión con dos términos, por ejemplo \( x+5 \) o \( 3m-4n \).
Al elevar un producto al cuadrado, se eleva cada factor: \( (3x)^2 = 3^2\cdot x^2 = 9x^2 \).
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes, \( (x^3)^2 = x^6 \).
Leyes de los signos: \( (+)(+)=+ \), \( (-)(-)=+ \), \( (+)(-)=- \). Por eso todo número elevado al cuadrado es positivo: \( (-4)^2 = 16 \).
1. Binomio cuadrado perfecto
Un binomio al cuadrado es un binomio multiplicado por sí mismo: \( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) \). Su resultado siempre tiene tres términos y recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. La regla se recuerda así: el cuadrado del primer término, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
El signo del término de en medio es el mismo que el del binomio. El último término siempre es positivo.
El área del cuadrado de lado \( (a+b) \) es \( a^2 + 2ab + b^2 \): un cuadrado grande, otro pequeño y dos rectángulos iguales (por eso aparece el «doble»).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. Desarrolla: \( (x+5)^2 \)
1
Identifica los términos: primer término \( a = x \), segundo término \( b = 5 \). El signo es \( + \).¿Por qué? Antes de aplicar la regla hay que saber quién es \(a\) y quién es \(b\).
2
Cuadrado del primero: \( x^2 \).
3
Doble del primero por el segundo: \( 2(x)(5) = 10x \). Lleva signo \( + \).¿Por qué? El término de en medio conserva el signo del binomio.
4
Cuadrado del segundo: \( 5^2 = 25 \).
5
Une los tres términos: \( x^2 + 10x + 25 \).
Resultado: \( (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
Comprobación: \( (x+5)(x+5) = x^2 + 5x + 5x + 25 = x^2 + 10x + 25 \). ✔ Los dos términos \(5x\) del centro son el «doble producto».
Ejemplo 2. Desarrolla: \( (3m-4)^2 \)
1
Identifica: \( a = 3m \), \( b = 4 \). El signo es \( - \).
2
Cuadrado del primero: \( (3m)^2 = 9m^2 \).¿Por qué? Se eleva al cuadrado el coeficiente y también la literal.
3
Doble del primero por el segundo: \( 2(3m)(4) = 24m \). Lleva signo \( - \).¿Por qué? El binomio es una resta, así que el término central es negativo.
4
Cuadrado del segundo: \( 4^2 = 16 \), siempre positivo.¿Por qué? \( (-4)^2 = 16 \): un cuadrado nunca es negativo.
5
Une los términos: \( 9m^2 - 24m + 16 \).
Resultado: \( (3m-4)^2 = 9m^2 - 24m + 16 \)
Ejemplo 3. Desarrolla: \( (2x^2+3y)^2 \)
1
Identifica: \( a = 2x^2 \), \( b = 3y \). El signo es \( + \).
2
Cuadrado del primero: \( (2x^2)^2 = 4x^4 \).¿Por qué? \(2^2 = 4\) y \( (x^2)^2 = x^{4} \) porque se multiplican los exponentes.
3
Doble del primero por el segundo: \( 2(2x^2)(3y) = 12x^2y \).¿Por qué? Se multiplican los coeficientes \( 2\cdot 2\cdot 3 = 12 \) y se escriben las literales.
Dos binomios son conjugados cuando tienen los mismos términos pero difieren en un signo: uno es una suma y el otro una resta, como \( (a+b) \) y \( (a-b) \). Al multiplicarlos, los términos del centro se cancelan y el resultado es una diferencia de cuadrados. La regla es: el cuadrado del término que no cambia de signo, menos el cuadrado del término que sí cambia.
BINOMIOS CONJUGADOS
$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$
El resultado tiene solo dos términos y siempre es una resta: no hay término de en medio.
Al cuadrado de lado \(a\) se le quita el cuadradito \(b^2\). Las piezas A y B que quedan se reacomodan en un rectángulo de base \( (a+b) \) y altura \( (a-b) \). Por eso \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 4. Desarrolla: \( (x+7)(x-7) \)
1
Verifica que son conjugados: los dos tienen \( x \) y \( 7 \); solo cambia el signo del \( 7 \).¿Por qué? Si los términos no fueran iguales, no podríamos usar esta regla.
2
Cuadrado del término que no cambia de signo: \( x^2 \).
3
Cuadrado del término que cambia de signo: \( 7^2 = 49 \).
4
Escribe la diferencia: \( x^2 - 49 \).
Resultado: \( (x+7)(x-7) = x^2 - 49 \)
Comprobación: \( (x+7)(x-7) = x^2 - 7x + 7x - 49 = x^2 - 49 \). ✔ Los términos \( -7x \) y \( +7x \) se cancelan.
Ejemplo 5. Desarrolla: \( (5a-2b)(5a+2b) \)
1
Verifica: los términos son \( 5a \) y \( 2b \); el signo que cambia es el de \( 2b \).¿Por qué? El orden de los binomios no importa: también son conjugados si la resta va primero.
2
Cuadrado del término que no cambia: \( (5a)^2 = 25a^2 \).
3
Cuadrado del término que cambia: \( (2b)^2 = 4b^2 \).
Verifica: los términos son \( 3x^3 \) y \( \tfrac{1}{2} \); cambia el signo de \( \tfrac{1}{2} \).
2
Cuadrado del término que no cambia: \( (3x^3)^2 = 9x^6 \).¿Por qué? \(3^2=9\) y \( (x^3)^2 = x^6 \).
3
Cuadrado del término que cambia: \( \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} \).¿Por qué? Una fracción se eleva al cuadrado elevando numerador y denominador.
Son dos binomios que comparten un término (el término común) y tienen distinto el otro término, como \( (x+a)(x+b) \). El resultado es un trinomio que se obtiene así: el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes.
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
$$ (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)\,x + ab $$
Los términos no comunes se toman con su signo: primero se suman y luego se multiplican.
El área del rectángulo es \( x^2 + ax + bx + ab \); al juntar \( ax + bx \) queda \( x^2 + (a+b)x + ab \).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 7. Desarrolla: \( (x+3)(x+5) \)
1
Identifica: término común \( x \); términos no comunes \( +3 \) y \( +5 \).
2
Cuadrado del término común: \( x^2 \).
3
Suma de los no comunes por el común: \( (3+5)x = 8x \).
