ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal es una igualdad matemática en la que la incógnita (o incógnitas) aparece elevada únicamente a la primera potencia, es decir, no hay exponentes, raíces, ni productos entre variables. Su nombre proviene de que, al graficarla en un plano cartesiano, siempre representa una línea recta.
Resolver una ecuación lineal significa encontrar el valor (o los valores) de la incógnita que hacen que la igualdad sea verdadera.
FORMA GENERAL
Una ecuación lineal con una incógnita se expresa de la siguiente manera:
ax + b = c
Donde:
- a = coeficiente de la incógnita (un número distinto de cero)
- x = incógnita o variable (el valor que buscamos)
- b = término independiente
- c = resultado de la igualdad
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
Para resolver cualquier ecuación lineal debemos recordar que una ecuación es como una balanza en equilibrio: todo lo que se haga de un lado, se debe hacer también del otro lado, para no romper la igualdad.
- Propiedad de la suma: se puede sumar o restar el mismo número en ambos lados de la ecuación sin alterar la igualdad.
- Propiedad de la multiplicación: se puede multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación entre el mismo número (distinto de cero) sin alterar la igualdad.
- Propiedad de transposición: cuando un término cambia de lado de la igualdad, cambia de signo (esto es consecuencia directa de las dos propiedades anteriores).
PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LINEAL
- Reducir términos semejantes en cada lado de la ecuación (si los hay).
- Agrupar las incógnitas de un lado de la igualdad y los números del otro lado (aplicando la propiedad de transposición).
- Despejar la incógnita, dividiendo ambos lados entre el coeficiente que la acompaña.
- Comprobar el resultado, sustituyendo el valor obtenido en la ecuación original.
EJEMPLOS RESUELTOS PASO A PASO
Ejemplo 1 — Ecuación básica
Resolver: x + 7 = 15
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Pasamos el 7 al lado derecho (cambia de signo) | x = 15 − 7 |
| 2 | Realizamos la resta | x = 8 |
Comprobación:
x + 7 = 15
8 + 7 = 15
15= 15 ✓
Ejemplo 2 — Con coeficiente
Resolver: 4x − 5 = 11
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Pasamos el −5 al lado derecho (cambia a +5) | 4x = 11 + 5 |
| 2 | Sumamos | 4x = 16 |
| 3 | Dividimos ambos lados entre 4 | x = 16 ÷ 4 |
| 4 | Resultado | x = 4 |
Comprobación:
4x − 5 = 11
4(4) − 5 = 11
16 − 5 = 11
11 = 11 ✓
Ejemplo 3 — Incógnita en ambos lados
Resolver: 5x + 3 = 2x + 18
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Pasamos 2x al lado izquierdo (cambia a −2x) | 5x − 2x + 3 = 18 |
| 2 | Reducimos términos semejantes | 3x + 3 = 18 |
| 3 | Pasamos el 3 al lado derecho con signo negativo | 3x = 18 − 3 |
| 4 | Restamos | 3x = 15 |
| 5 | Dividimos entre 3 | x = 5 |
Comprobación:
5x + 3 = 2x + 18
5(5) + 3 = 2(5) + 18
25 + 3 = 10 + 18
28 = 28 ✓
Ejemplo 4 — Con paréntesis
Resolver: 3(x + 2) = 21
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Aplicamos la propiedad distributiva | 3x + 6 = 21 |
| 2 | Pasamos el 6 al lado derecho con signo negativo | 3x = 21 − 6 |
| 3 | Restamos | 3x = 15 |
| 4 | Dividimos entre 3 | x = 5 |
Comprobación:
3(x + 2) = 21
3(5 + 2) = 21
3(7) = 21
21 = 21 ✓
Ejemplo 5 — Con fracciones
Resolver: x/3 + 4 = 9
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Pasamos el 4 al lado derecho | x/3 = 9 − 4 |
| 2 | Restamos | x/3 = 5 |
| 3 | Multiplicamos ambos lados por 3 | x = 5 × 3 |
| 4 | Resultado | x = 15 |
Comprobación:
x/3 + 4 = 9
15/3 + 4 = 9
5 + 4 = 9
9 = 9 ✓
PROBLEMA CON PLANTEAMIENTO (aplicación en la vida real)
Problema: Ana tiene cierta cantidad de dinero. Si gasta $150 en un libro, le quedan $320. ¿Cuánto dinero tenía Ana al inicio?
Planteamiento:
- Sea x = cantidad de dinero que tenía Ana al inicio
- La ecuación que representa el problema es: x − 150 = 320
Resolución:
| Paso | Operación | Resultado |
| 1 | Pasamos el −150 al lado derecho (cambia a +150) | x = 320 + 150 |
| 2 | Sumamos | x = 470 |
Respuesta: Ana tenía $470 al inicio.
ERRORES COMUNES QUE DEBES EVITAR
- ❌ Olvidar cambiar el signo al pasar un término al otro lado de la igualdad.
- ❌ Sumar o restar solo de un lado de la ecuación (romper el equilibrio de la balanza).
- ❌ No reducir primero los términos semejantes antes de despejar.
- ❌ Olvidar comprobar el resultado sustituyendo el valor encontrado.
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. Comprueba cada resultado.
- x + 9 = 23
- 6x − 4 = 20
- 2x + 7 = x + 15
- 5(x − 3) = 25
- x/4 + 6 = 10
- 3x + 8 = 5x − 2
- 7 − 2x = 1
- 2(x + 4) = 3(x − 1)
RESUMEN
- Una ecuación lineal representa una igualdad de primer grado y su solución es siempre un único valor (o un conjunto vacío/infinito en casos especiales).
- Se resuelve manteniendo el equilibrio de la ecuación: lo que se hace de un lado, se hace del otro.
- El objetivo siempre es dejar la incógnita sola de un lado de la igualdad.
- Comprobar el resultado es un paso que nunca debe omitirse.
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