Las fracciones permiten representar partes de una unidad y expresar cantidades que no necesariamente son números enteros. En este tema aprenderás a identificar los elementos de una fracción, reconocer fracciones equivalentes, simplificar fracciones y resolver sumas y restas con igual y diferente denominador.
DEFINICIONES Y CONCEPTOS
Fracción: Una fracción representa una cantidad dividida en partes iguales.
Una fracción se representa mediante:
Donde:
- a = numerador
- b = denominador
- b ≠ 0
El numerador indica cuántas partes estamos considerando y el denominador indica en cuántas partes iguales se divide la unidad.
Importante: el denominador nunca puede ser igual a cero.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
Por ejemplo:
Podemos obtener una fracción equivalente multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número diferente de cero:
Por ejemplo:
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción significa encontrar una fracción equivalente con números más pequeños.
Por ejemplo:
El máximo común divisor de 12 y 18 es 6.
Dividimos numerador y denominador entre 6:
Por lo tanto:
Una fracción está en su forma simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes mayores que 1.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, conservamos el denominador y operamos los numeradores.
Suma
Resta
Ejemplo 1
Ejemplo2
SUMA Y RESTA DE FRACIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR
Aquí primero hay que convertir las fracciones para que tengan el mismo denominador. Existen tres métodos para lograrlo. Todos llegan al mismo resultado; la diferencia está en la rapidez y en el tamaño de los números con los que trabajas.
**Advertencia importante:** nunca se suman numerador con numerador y denominador con denominador.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}$$
Método 1. Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, aunque estén escritas con números distintos. Para obtener una fracción equivalente se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número.
$$\frac{3}{4}=\frac{3\times2}{4\times2}=\frac{6}{8}$$
Guía para resolver sumas y restas de fracciones equivalentes
- Encontrar las fracciones equivalentes de ambas fracciones, es decir que tengan el mismo denominador.
- Una vez que encontraste el mismo de nominador, suma o resta los numeradores y conserva el denominador.
- Simplifica la fracción si lo requiere.
Ejemplo 1
Resolver: $$\frac{1}{2}+\frac{3}{8}$$
Paso 1. Escribimos fracciones equivalentes de $\frac{1}{2}$ hasta llegar a un denominador que aparezca también en la otra fracción:
$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$$
Paso 2. Ya encontramos el denominador $8$, que es el de la segunda fracción. Reemplazamos $\frac{1}{2}$ por su equivalente $\frac{4}{8}$:
$$\frac{4}{8}+\frac{3}{8}$$
Paso 3. Ahora que tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y conservamos el denominador:
$$\frac{4+3}{8}=\frac{7}{8}$$
Resultado:
$$\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$$
Ejemplo 2
Resolver: $$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$$
Paso 1. Escribimos fracciones equivalentes de cada una:
$$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$$
$$\frac{1}{6}=\frac{2}{12}=\frac{3}{18}$$
Paso 2. Buscamos el denominador que se repite en ambas listas: es el $12$.
Paso 3. Sustituimos por las fracciones equivalentes con denominador $12$:
$$\frac{9}{12}-\frac{2}{12}$$
Paso 4. Restamos los numeradores y conservamos el denominador:
$$\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}$$
Resultado:
$$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$
✅OBSERVACIÓN: Este método es ideal para fracciones con denominadores pequeños, porque se ve claramente por qué funciona. Con números grandes se vuelve lento.
Método 2. Producto cruzado
Este método permite sumar o restar dos fracciones en un solo paso, sin buscar denominador común. Se multiplica en cruz y los denominadores se multiplican entre sí.
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d+b\times c}{b\times d}$$
$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\times d-b\times c}{b\times d}$$
Guía para resolver sumas y restas de fracciones mediante el producto cruzado
1. El primer numerador se multiplica por el segundo denominador ($a\times d$).
2. El primer denominador se multiplica por el segundo numerador ($b\times c$).
3. Esos dos productos se suman (o se restan) y se escribe el resultado en el numerador.
4. Los dos denominadores se multiplican y se escribe el resultado en el denominador.
5. Si se puede, se simplifica el resultado.
Ejemplo 1
Resolver:
$$\frac{2}{3}+\frac{4}{5}$$
Paso 1. Multiplicamos en cruz:
$$2\times5=10 \qquad\qquad 3\times4=12$$
Paso 2. Sumamos los dos productos para obtener el numerador:
$$10+12=22$$
Paso 3. Multiplicamos los denominadores:
$$3\times5=15$$
Paso 4. Escribimos el resultado:
$$\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{22}{15}$$
Paso 5. Es una fracción impropia (el numerador es mayor que el denominador). Podemos convertirla a número mixto dividiendo $22\div15=1$ con residuo $7$:
$$\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$$
Ejemplo 2
Resolver: $$\frac{5}{6}-\frac{3}{8}$$
Paso 1. Multiplicamos en cruz:
$$5\times8=40 \qquad\qquad 6\times3=18$$
Paso 2. Como es una resta, restamos los productos para obtener el numerador:
$$40-18=22$$
Paso 3. Multiplicamos los denominadores:
$$6\times8=48$$
Paso 4. Escribimos el resultado:
$$\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{22}{48}$$
Paso 5. Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre $2$:
$$\frac{22\div2}{48\div2}=\frac{11}{24}$$
Resultado:
$$\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{11}{24}$$
OBSERVACIÓN: Este método siempre funciona, pero con denominadores grandes el resultado sale con números enormes y hay que simplificar al final. Además, solo es cómodo para dos fracciones.
Método 3. Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Este es el método más completo y el que se usa en preparatoria y en álgebra. Consiste en encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, que será el denominador común más pequeño posible, y por eso los números con los que trabajas se mantienen manejables.
Guía para resolver sumas y restas de fracciones por el MCM
1. Se calcula el MCM de los denominadores.
2. Se divide el MCM entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.
3. Se suman o restan los nuevos numeradores, conservando el MCM como denominador.
4. Se simplifica el resultado si es posible.
Ejemplo 1
Resolver:
$$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$
Paso 1. Escribimos los múltiplos de cada denominador y buscamos el primero que se repita (el mínimo común). Lo remarcamos con un círculo:
$$\text{Múltiplos de }4:\quad 4,\; 8,\; \enclose{circle}{\,12\,},\; 16,\; 20,\; 24,\; \ldots$$
$$\text{Múltiplos de }6:\quad 6,\; \enclose{circle}{\,12\,},\; 18,\; 24,\; 30,\; \ldots$$
Paso 2. El primer múltiplo que aparece en ambas listas es el $12$:
$$\text{MCM}(4,6)=12$$
Paso 3. Convertimos cada fracción a denominador $12$. Dividimos el MCM entre el denominador y multiplicamos por el numerador:
$$\frac{1}{4}=\frac{(12\div4)\times1}{12}=\frac{3\times1}{12}=\frac{3}{12}$$
$$\frac{5}{6}=\frac{(12\div6)\times5}{12}=\frac{2\times5}{12}=\frac{10}{12}$$
Paso 4. Sumamos las fracciones, que ya tienen el mismo denominador:
$$\frac{3}{12}+\frac{10}{12}=\frac{13}{12}$$
Paso 5. Es fracción impropia, la escribimos como número mixto ($13\div12=1$ con residuo $1$):
$$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$
Ejemplo 2
Cuando hay más de dos fracciones, o los denominadores son más grandes, listar múltiplos es lento. Por eso se calcula el MCM descomponiendo en números primos con el método vertical: los números se colocan a la izquierda y, a la derecha de la línea vertical, se escriben los números primos entre los que se van dividiendo.
Resolver:
$$\frac{1}{6}+\frac{3}{8}-\frac{5}{12}$$
Paso 1. Calculamos el MCM de los denominadores $6$, $8$ y $12$. Dividimos entre el menor número primo que divida al menos a uno de ellos. Los números que no se pueden dividir se bajan igual. Repetimos hasta obtener $1$ en todos:
$$
\begin{array}{ccc|c}
6 & 8 & 12 & 2 \\
3 & 4 & 6 & 2 \\
3 & 2 & 3 & 2 \\
3 & 1 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
Paso 2. El MCM es el producto de todos los números primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}=2\times2\times2\times3=24$$
Paso 3. Convertimos cada fracción a denominador $24$ (dividimos el MCM entre cada denominador y multiplicamos por el numerador):
$$\frac{1}{6}\;\rightarrow\;\frac{(24\div6)\times1}{24}=\frac{4}{24}$$
$$\frac{3}{8}\;\rightarrow\;\frac{(24\div8)\times3}{24}=\frac{9}{24}$$
$$\frac{5}{12}\;\rightarrow\;\frac{(24\div12)\times5}{24}=\frac{10}{24}$$
Paso 4. Sumamos y restamos los numeradores en el orden que indica la operación:
$$\frac{4}{24}+\frac{9}{24}-\frac{10}{24}=\frac{4+9-10}{24}=\frac{3}{24}$$
Paso 5. Simplificamos dividiendo entre $3$:
$$\frac{3\div3}{24\div3}=\frac{1}{8}$$
Resultado:
$$\frac{1}{6}+\frac{3}{8}-\frac{5}{12}=\frac{1}{8}$$
Ejemplo 3
Resolver:
$$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{2}{9}+\frac{7}{12}$$
Paso 1. Calculamos el MCM de $4$, $6$, $9$ y $12$ con el método vertical:
$$
\begin{array}{cccc|c}
4 & 6 & 9 & 12 & 2 \\
2 & 3 & 9 & 6 & 2 \\
1 & 3 & 9 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 3 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
Paso 2. Multiplicamos los números primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}=2\times2\times3\times3=36$$
Paso 3. Convertimos cada fracción a denominador $36$:
$$\frac{3}{4}\;\rightarrow\;\frac{(36\div4)\times3}{36}=\frac{9\times3}{36}=\frac{27}{36}$$
$$\frac{5}{6}\;\rightarrow\;\frac{(36\div6)\times5}{36}=\frac{6\times5}{36}=\frac{30}{36}$$
$$\frac{2}{9}\;\rightarrow\;\frac{(36\div9)\times2}{36}=\frac{4\times2}{36}=\frac{8}{36}$$
$$\frac{7}{12}\;\rightarrow\;\frac{(36\div12)\times7}{36}=\frac{3\times7}{36}=\frac{21}{36}$$
Paso 4. Realizamos las operaciones con los numeradores:
$$\frac{27}{36}+\frac{30}{36}-\frac{8}{36}+\frac{21}{36}=\frac{27+30-8+21}{36}=\frac{70}{36}$$
Paso 5. Simplificamos dividiendo entre $2$:
$$\frac{70\div2}{36\div2}=\frac{35}{18}$$
Paso 6. Es fracción impropia; la escribimos como número mixto ($35\div18=1$ con residuo $17$):
$$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{2}{9}+\frac{7}{12}=\frac{35}{18}=1\frac{17}{18}$$
¿QUÉ METODO CONVIENE USAR?
1. Fracciones equivalentes: cuando los denominadores son pequeños y uno es múltiplo del otro (por ejemplo, 2 y 8). Es el mejor para entender la idea.
2. Producto cruzado: cuando son solo dos fracciones y quieres el resultado rápido. Recuerda simplificar al final.
3. MCM: cuando hay tres o más fracciones, o denominadores grandes. Es el método más ordenado y el que necesitarás en álgebra.
ERRORES COMUNES QUE DEBES EVITAR
❌ Sumar numeradores entre sí y también denominadores entre sí.
❌ Cambiar solo el denominador de una fracción sin multiplicar también su numerador (se altera el valor de la fracción).
❌ Olvidar el signo negativo al restar varias fracciones a la vez.
❌ Dejar el resultado sin simplificar.
❌ Equivocarse en el MCM: revisa que todos los denominadores dividan exactamente al MCM que encontraste.
PROBLEMAS RAZONADOS
Problema 1 “La pizza”
Carlos comió $\frac{1}{4}$ de una pizza y Lupita comió $\frac{2}{5}$ de la misma pizza. ¿Qué fracción de la pizza comieron entre los dos? ¿Qué fracción de la pizza sobró?
Razonamiento: “Entre los dos” indica que hay que sumar las fracciones. Para saber lo que sobró, restamos lo que comieron a la pizza completa, que equivale a $1$ entero.
Paso 1. Planteamos la suma:
$$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$$
Paso 2. Usamos el producto cruzado:
$$\frac{1\times5+4\times2}{4\times5}=\frac{5+8}{20}=\frac{13}{20}$$
Paso 3. Para saber lo que sobró, restamos al entero (que escribimos como $\frac{20}{20}$):
$$1-\frac{13}{20}=\frac{20}{20}-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}$$
Respuesta: Entre los dos comieron $\frac{13}{20}$ de la pizza y sobraron $\frac{7}{20}$.
Problema 2 “El tinaco”
Un tinaco está lleno hasta $\frac{3}{4}$ de su capacidad. Por la mañana se usó $\frac{1}{6}$ de la capacidad y por la tarde se usó $\frac{1}{3}$. ¿Qué fracción de la capacidad del tinaco quedó?
Razonamiento: Parte de una cantidad y se le van quitando dos cantidades. Es una resta con tres fracciones, por eso conviene usar el método del MCM.
Paso 1. Planteamos la operación:
$$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}$$
Paso 2. Calculamos el MCM de $4$, $6$ y $3$:
$$
\begin{array}{ccc|c}
4 & 6 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
$$\text{MCM}=2\times2\times3=12$$
Paso 3. Convertimos a denominador $12$:
$$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\qquad\quad \frac{1}{6}=\frac{2}{12}\qquad\quad \frac{1}{3}=\frac{4}{12}$$
Paso 4. Restamos los numeradores:
$$\frac{9}{12}-\frac{2}{12}-\frac{4}{12}=\frac{9-2-4}{12}=\frac{3}{12}$$
Paso 5. Simplificamos dividiendo entre $3$:
$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$
Respuesta: Quedó $\frac{1}{4}$ de la capacidad del tinaco.
Problema 3 “Tiempo de estudio”
Ana estudió $\frac{1}{2}$ hora de matemáticas, $\frac{3}{4}$ de hora de español y $\frac{5}{6}$ de hora de ciencias. ¿Cuánto tiempo estudió en total? ¿Cumplió su meta de estudiar al menos $2$ horas?
Razonamiento: “En total” indica suma de las tres fracciones. Después comparamos el resultado con la meta de $2$ horas.
Paso 1. Planteamos la suma:
$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$$
Paso 2. Calculamos el MCM de $2$, $4$ y $6$:
$$
\begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 6 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
$$\text{MCM}=2\times2\times3=12$$
Paso 3. Convertimos a denominador $12$:
$$\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\qquad\quad \frac{3}{4}=\frac{9}{12}\qquad\quad \frac{5}{6}=\frac{10}{12}$$
Paso 4. Sumamos los numeradores:
$$\frac{6}{12}+\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{25}{12}$$
Paso 5. Convertimos a número mixto ($25\div12=2$ con residuo $1$):
$$\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}\text{ horas}$$
Paso 6. Como $\frac{1}{12}$ de hora equivale a $60\div12=5$ minutos, Ana estudió $2$ horas con $5$ minutos.
Respuesta: Ana estudió en total $2\frac{1}{12}$ horas (2 horas con 5 minutos), por lo tanto sí cumplió su meta.
EJERCITA TU MENTE
Resuelve cada operación con el método que prefieras. Recuerda simplificar tu resultado y escribirlo como número mixto cuando sea una fracción impropia.
NIVEL BÁSICO
Ejercicio 1. $$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$$
Ejercicio 2. $$\frac{5}{8}-\frac{1}{4}$$
Ejercicio 3. $$\frac{2}{5}+\frac{3}{4}$$
Ejercicio 4. $$\frac{7}{9}-\frac{2}{3}$$
NIVEL INTERMEDIO
Ejercicio 5. $$\frac{5}{6}+\frac{7}{10}$$
Ejercicio 6. $$\frac{11}{12}-\frac{3}{8}$$
Ejercicio 7. $$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$$
NIVEL AVANZADO
Ejercicio 8. $$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}$$
Ejercicio 9. $$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+\frac{1}{12}$$
Ejercicio 10.
Don Pedro sembró $\frac{2}{5}$ de su terreno con maíz, $\frac{1}{4}$ con frijol y $\frac{1}{10}$ con calabaza. ¿Qué fracción del terreno sembró en total? ¿Qué fracción quedó sin sembrar?