MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor de los múltiplos que dichos números tienen en común (sin contar el cero). Se utiliza constantemente para sumar y restar fracciones con distinto denominador, para resolver problemas de repartos periódicos, y para sincronizar eventos que se repiten cada cierto tiempo.
Método 1 Listado de múltiplos
Se escriben los múltiplos de cada número hasta encontrar el primero que se repita en ambas listas.
Ejemplo: Calcular el MCM de 4 y 6
$$\text{Múltiplos de } 4: \{4, 8, 12, 16, 20, 24, …\}$$
$$\text{Múltiplos de } 6: \{6, 12, 18, 24, 30, …\}$$
El primer múltiplo que se repite es el 12.
$$\text{MCM}(4,6) = 12$$
Este método es fácil de entender, pero se vuelve lento con números grandes. Por eso, en la práctica se usa el segundo método.
Método 2 Por descomposición de factores primos
Esta es la forma más rápida y ordenada de encontrar el MCM, sobre todo cuando hay más de dos números. Los números se acomodan en una fila, y a la derecha de una línea vertical se van escribiendo los números primos entre los que se divide.
Se divide entre cualquier primo que divida al menos a uno de los números. Los números que no se puedan dividir se “bajan” igual, sin cambiar.
Ejemplo 1. Calcular el MCM de 12 y 18
$$
\begin{array}{cc|c}
12 & 18 & 2 \\
6 & 9 & 3 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 3 \\
1 & 1 &
\end{array}
$$
Explicación paso a paso:
1. Dividimos ambos números entre $2$, que en este paso divide a los dos: $12\div2=6$, $18\div2=9$.
2. Ahora dividimos entre $3$, que también divide a ambos: $6\div3=2$, $9\div3=3$.
3. Dividimos entre $2$: el $2$ se convierte en $1$, pero el $3$ no es divisible entre $2$, así que se baja igual: $2\div2=1$, se baja el $3$.
4. Dividimos entre $3$: el $1$ se queda igual (se baja), y $3\div3=1$.
5. Ya ambos números llegaron a $1$. Terminamos.
El MCM es el producto de todos los números primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}(12,18)=2\times3\times2\times3=36$$
Ejemplo 2. Hallar el MCM de 8, 12 y 20
$$
\begin{array}{ccc|c}
8 & 12 & 20 & 2 \\
4 & 6 & 10 & 2 \\
2 & 3 & 5 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 3 \\
1 & 1 & 5 & 5 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
$$\text{MCM}(8,12,20)=2\times2\times2\times3\times5=120$$
PROBLEMAS RAZONADOS DEL MCM
En cada problema, lo primero es identificar el concepto clave que indica si se trata de un problema de MCM: casi siempre son palabras como “coincidir”, “volver a juntarse”, “al mismo tiempo” o “cada cuánto”.
PROBLEMA 1. Los faros
Tres faros de un puerto destellan con las siguientes frecuencias: el primero cada 12 segundos, el segundo cada 18 segundos y el tercero cada 24 segundos. Si los tres destellan juntos en este momento, ¿después de cuántos segundos volverán a destellar los tres al mismo tiempo?
Concepto clave: la pregunta busca el momento en que coinciden tres eventos periódicos distintos.
Datos: Frecuencias de destello: $12$, $18$ y $24$ segundos.
Desarrollo del MCM de (12, 18 y 24):
$$
\begin{array}{ccc|c}
12 & 18 & 24 & 2 \\
6 & 9 & 12 & 2 \\
3 & 9 & 6 & 2 \\
3 & 9 & 3 & 3 \\
1 & 3 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
Explicación de cada fila:
1. Los tres números son divisibles entre $2$: $12\div2=6$, $18\div2=9$, $24\div2=12$.
2. Dividimos de nuevo entre $2$ (el $9$ no es divisible, se baja igual): $6\div2=3$, $9$ se baja, $12\div2=6$.
3. Dividimos entre $2$ (el $9$ se vuelve a bajar): $3$ se baja, $9$ se baja, $6\div2=3$.
4. Ahora dividimos entre $3$: $3\div3=1$, $9\div3=3$, $3\div3=1$.
5. Dividimos entre $3$ una vez más (el $1$ se baja igual): $1$ se baja, $3\div3=1$, $1$ se baja.
6. Los tres números llegaron a $1$. Terminamos.
Multiplicamos todos los primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}(12,18,24)=2\times2\times2\times3\times3=72$$
Resultado: Los tres faros volverán a destellar juntos después de 72 segundos (1 minuto con 12 segundos).
PROBLEMA 2. Máquinas en una fábrica
En una fábrica, cuatro máquinas completan un ciclo de producción en los siguientes tiempos: la máquina A cada 180 minutos, la B cada 240 minutos, la C cada 300 minutos y la D cada 360 minutos. Si las cuatro inician un ciclo exactamente al mismo tiempo, ¿después de cuántos minutos volverán a iniciar un ciclo las cuatro juntas?
Concepto clave: nuevamente se trata de encontrar cuándo coinciden cuatro eventos periódicos.
Datos: $180$, $240$, $300$ y $360$ minutos.
Desarrollo del MCM de (180, 240, 300 y 360):
$$
\begin{array}{cccc|c}
180 & 240 & 300 & 360 & 2 \\
90 & 120 & 150 & 180 & 2 \\
45 & 60 & 75 & 90 & 2 \\
45 & 30 & 75 & 45 & 2 \\
45 & 15 & 75 & 45 & 3 \\
15 & 5 & 25 & 15 & 3 \\
5 & 5 & 25 & 5 & 5 \\
1 & 1 & 5 & 1 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
Explicación resumida: Como son números más grandes, el proceso necesita más divisiones, pero la lógica es idéntica: en cada fila dividimos entre el menor número primo que alcance a dividir a por lo menos uno de los números, y los que no se puedan dividir se bajan igual, tal como en el problema anterior. Esto se repite hasta que los cuatro números lleguen a $1$.
Multiplicamos todos los primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}(180,240,300,360)=2\times2\times2\times2\times3\times3\times5\times5=3{,}600$$
Resultado: Las cuatro máquinas volverán a iniciar un ciclo juntas después de 3,600 minutos, es decir, 60 horas, o lo que es lo mismo, 2.5 días.
PROBLEMA 3. Satélites en órbita
Cinco satélites artificiales completan una vuelta alrededor de la Tierra en los siguientes tiempos: el satélite 1 cada 1,200 minutos, el satélite 2 cada 1,800 minutos, el satélite 3 cada 2,400 minutos, el satélite 4 cada 3,000 minutos y el satélite 5 cada 3,600 minutos. Si en este momento los cinco pasan exactamente por el mismo punto sobre la Tierra, ¿después de cuántos minutos volverán a coincidir los cinco en ese mismo punto?
Concepto clave: es el mismo tipo de problema que los dos anteriores — coincidencia de eventos periódicos — solo que ahora con cinco números de cuatro cifras.
Datos: $1{,}200$, $1{,}800$, $2{,}400$, $3{,}000$ y $3{,}600$ minutos.
Desarrollo del (MCM) de 1200, 1800, 2400, 3000 y 3600
$$
\begin{array}{ccccc|c}
1200 & 1800 & 2400 & 3000 & 3600 & 2 \\
600 & 900 & 1200 & 1500 & 1800 & 2 \\
300 & 450 & 600 & 750 & 900 & 2 \\
150 & 225 & 300 & 375 & 450 & 2 \\
75 & 225 & 150 & 375 & 225 & 2 \\
75 & 225 & 75 & 375 & 225 & 3 \\
25 & 75 & 25 & 125 & 75 & 3 \\
25 & 25 & 25 & 125 & 25 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 25 & 5 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 5 & 1 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 &
\end{array}
$$
Explicación resumida: Con números de 4 cifras el proceso requiere 10 divisiones, pero fíjate que la regla sigue siendo exactamente la misma de los problemas 1 y 2: dividir entre el menor primo posible y bajar los números que no se puedan dividir en ese paso. Entre más grandes son los números, más filas tiene la tabla — pero nunca cambia la lógica.
Multiplicamos todos los primos de la columna derecha:
$$\text{MCM}(1200,1800,2400,3000,3600)=2^5\times3^2\times5^3=32\times9\times125=36{,}000$$
Resultado: Los cinco satélites volverán a coincidir sobre el mismo punto después de 36,000 minutos, es decir, 600 horas, lo que equivale a 25 días exactos.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que divide exactamente (sin dejar residuo) a todos ellos. Se utiliza para simplificar fracciones, repartir objetos en grupos iguales del mayor tamaño posible, y resolver problemas de “la mayor medida común”.
Método 1. Listado de divisores
Se listan todos los divisores de cada número y se identifica el mayor que tengan en común.
Ejemplo: Calcular el MCD de 12 y 18
$$\text{Divisores de } 12: \{1,2,3,4,6,12\}$$
$$\text{Divisores de } 18: \{1,2,3,6,9,18\}$$
Los divisores comunes son $\{1,2,3,6\}$. El mayor es 6.
$$\text{MCD}(12,18) = 6$$
Método 2. Descomposición en factores primos
Con este método se divide entre un número primo, solo si divide a TODOS los números a la vez. En cuanto ya no exista un primo común a todos, el proceso se detiene ahí.
Ejemplo 1. Calcular el MCD de 36 y 60$$
\begin{array}{cc|c}
36 & 60 & 2 \\
18 & 30 & 2 \\
9 & 15 & 3 \\
3 & 5 &
\end{array}
$$
Explicación paso a paso:
1. Dividimos ambos números entre $2$, porque $2$ divide exactamente a los dos: $36\div2=18$, $60\div2=30$.
2. Volvemos a dividir entre $2$, porque sigue dividiendo a ambos: $18\div2=9$, $30\div2=15$.
3. Dividimos entre $3$, porque divide a ambos: $9\div3=3$, $15\div3=5$.
4. Revisamos si existe un primo que divida a la vez a $3$ y a $5$. No existe ($3$ y $5$ son primos distintos), así que aquí se detiene el proceso.
El MCD es el producto de los primos de la columna derecha.
$$\text{MCD}(36,60)=2\times2\times3=12$$
Ejemplo 2. Hallar el MCD de 24, 36 y 60.
$$
\begin{array}{ccc|c}
24 & 36 & 60 & 2 \\
12 & 18 & 30 & 2 \\
6 & 9 & 15 & 3 \\
2 & 3 & 5 &
\end{array}
$$
Nos detenemos porque $2$, $3$ y $5$ ya no tienen un primo en común que divida a los tres a la vez.
$$\text{MCD}(24,36,60)=2\times2\times3=12$$
PROBLEMAS RAZONADOS DEL MCD
Aquí el concepto clave casi siempre son frases como “el mayor tamaño posible”, “sin que sobre nada”, “repartir en partes iguales” o “simplificar”.
PROBLEMA 1. Kits escolares
Una maestra tiene 48 lápices, 72 cuadernos y 120 gomas. Quiere armar la mayor cantidad posible de kits idénticos, usando todo el material, sin que sobre ni un solo lápiz, cuaderno o goma. ¿Cuántos kits puede armar como máximo, y cuántas piezas de cada material lleva cada kit?
Concepto clave: se busca el número más grande que reparta exactamente las tres cantidades a la vez, sin residuo.
Datos: $48$, $72$ y $120$.
Desarrollo (MCD) de 48, 72 y 120:
$$
\begin{array}{ccc|c}
48 & 72 & 120 & 2 \\
24 & 36 & 60 & 2 \\
12 & 18 & 30 & 2 \\
6 & 9 & 15 & 3 \\
2 & 3 & 5 &
\end{array}
$$
Explicación de cada fila:
1. Los tres números son divisibles entre $2$: $48\div2=24$, $72\div2=36$, $120\div2=60$.
2. Siguen siendo divisibles entre $2$: $24\div2=12$, $36\div2=18$, $60\div2=30$.
3. Todavía divisibles entre $2$: $12\div2=6$, $18\div2=9$, $30\div2=15$.
4. Ahora divisibles entre $3$: $6\div3=2$, $9\div3=3$, $15\div3=5$.
5. Nos detenemos aquí: $2$, $3$ y $5$ son todos números primos distintos, así que ya **no existe ningún primo que divida a los tres a la vez**.
**Multiplicamos los primos usados (columna derecha):**
$$\text{MCD}(48,72,120)=2\times2\times2\times3=24$$
Resultado: La maestra puede armar 24 kits. Cada kit llevará $48\div24=2$ lápices, $72\div24=3$ cuadernos y $120\div24=5$ gomas.
PROBLEMA 2. Distribución de un almacén
Un almacén tiene 360 bultos de arroz, 480 bultos de frijol, 600 bultos de azúcar y 840 bultos de harina. Se quiere enviar todo a varias tiendas, formando el mayor número posible de paquetes idénticos (cada tienda recibe el mismo paquete), sin mezclar productos y sin que sobre ningún bulto. ¿Cuántos paquetes se pueden formar, y cuántos bultos de cada producto lleva cada paquete?
Concepto clave: nuevamente buscamos el mayor número que reparta exactamente las cuatro cantidades.
Datos: $360$, $480$, $600$ y $840$.
Desarrollo (MCD) de 360, 480, 600 y 840:
$$
\begin{array}{cccc|c}
360 & 480 & 600 & 840 & 2 \\
180 & 240 & 300 & 420 & 2 \\
90 & 120 & 150 & 210 & 2 \\
45 & 60 & 75 & 105 & 3 \\
15 & 20 & 25 & 35 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 7 &
\end{array}
$$
Explicación resumida: Dividimos entre $2$ tres veces seguidas porque los cuatro números siguen siendo pares; después entre $3$ y entre $5$, porque en cada uno de esos pasos el primo todavía divide exactamente a los cuatro números. Nos detenemos en $3$, $4$, $5$ y $7$ porque ya no hay ningún primo común a los cuatro.
Multiplicamos los primos usados:
$$\text{MCD}(360,480,600,840)=2\times2\times2\times3\times5=120$$
Resultado: Se pueden formar **120 paquetes**. Cada paquete llevará $3$ bultos de arroz, $4$ de frijol, $5$ de azúcar y $7$ de harina.
PROBLEMA 3. Reorganización de un distrito escolar
Un distrito escolar tiene 5 planteles con 1,200, 1,800, 2,400, 3,000 y 3,600 alumnos respectivamente. Se quiere reorganizar a todos los alumnos del distrito en grupos idénticos del mayor tamaño posible (mismo número de alumnos por grupo en todos los planteles), sin mezclar alumnos de distintos planteles y sin que sobre ninguno. ¿De qué tamaño deben ser los grupos, y cuántos grupos se forman en cada plantel?
Concepto clave: mismo tipo de problema que el anterior, solo que ahora con cinco planteles y números de cuatro cifras.
Datos: $1{,}200$, $1{,}800$, $2{,}400$, $3{,}000$ y $3{,}600$.
Desarrollo (MCD)
$$
\begin{array}{ccccc|c}
1200 & 1800 & 2400 & 3000 & 3600 & 2 \\
600 & 900 & 1200 & 1500 & 1800 & 2 \\
300 & 450 & 600 & 750 & 900 & 2 \\
150 & 225 & 300 & 375 & 450 & 3 \\
50 & 75 & 100 & 125 & 150 & 5 \\
10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 &
\end{array}
$$
Explicación resumida: se divide entre $2$ tres veces (los cinco números siguen siendo pares), luego entre $3$ y dos veces entre $5$, siempre revisando que el primo divida **a los cinco números a la vez**. El proceso se detiene en $2,3,4,5,6$ porque ya no existe un primo común a los cinco.
Multiplicamos los primos usados:
$$\text{MCD}(1200,1800,2400,3000,3600)=2\times2\times2\times3\times5\times5=600$$
Resultado: Los grupos deben ser de 600 alumnos. El plantel 1 forma $2$ grupos, el plantel 2 forma $3$, el plantel 3 forma $4$, el plantel 4 forma $5$ y el plantel 5 forma $6$ grupos.
DATO CURIOSO — Comparando MCM y MCD con los mismos números
Fíjate que el Problema 3 del MCM (satélites) y el Problema 3 del MCD (distrito escolar) usan exactamente los mismos cinco números: $1200$, $1800$, $2400$, $3000$ y $3600$. Esto es intencional, para que quede clarísima la diferencia:
| | Resultado | ¿Por qué? |
|—|—|—|
| MCM de esos 5 números | $36{,}000$ | Es un número mayor a todos los originales — tiene sentido, porque buscamos cuándo vuelven a coincidir (hay que esperar bastante). |
| MCD de esos 5 números | $600$ | Es un número menor a todos los originales — tiene sentido, porque buscamos el tamaño máximo de un grupo que cabe exactamente en cada uno (siempre es más chico que lo que se reparte). |
Si alguna vez te confundes sobre cuál usar, recuerda: MCM crece, MCD achica.
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